1. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4 #
2. Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...
- A. Grup
- B. Monoid
- C. Polaroid #
- D. Semigrup
3. Manakah dibawah ini cara untuk membuktikan sebuah himpunan tertutup terhadap Asosiatif ?
- A. a*b = b*a
- B. (a*b)*c = a*(b*c) #
- C. a dan b benar
- D. a dan b salah
Penjelasan :
Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
4. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner : a * b = a + 2b Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?
- A. Grup
- B. Semigrup
- C. Monoid
- D. Tidak termasuk kedalam apapun #
Penyelesaian :
- Tertutup
a = 1
b = 2
a * b = a + 2b
= 1 + 2(2)
= 5
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
- Assosiatif
(a * b) * c = (a + 2b) * c | (a * b) * c = a * (b + 2c)
= n * c | = a * n
= n + 2c | = a + 2n
= a + 2b + 2c | = a + 4b + 2c
Jadi, (N, *) Tidak termasuk kedalam apapun
5. Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….
- A. Semigrup Abelian
- B. Subgrup
- C. Monoid #
- D. Grup
6. tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H ⊆ G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
(misalkan 0, 2, 4 ∈ H)
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 ∈ H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan
a = 2, b = 2 dan c = 4 ∈ H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan 0 G
0 + e = e + 0 = 0
misalkan 2 G
2 + e = e + 2 = 2
misalkan 4 G
4 + e = e + 4 = 4
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,
sehingga
0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,
sehingga
2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,
sehingga
4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
maka G ada unsur balikan atau invers
e. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 4 H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
Sehingga :
4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan atau identitas
f. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga :
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e
maka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+)
merupakan Subgrup dari (G, +).
7. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner : A * B = A + B + AB Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?
- A. Grup
- B. Semigrup #
- C. Grupoid
- D. Monoid
Penyelesaian :
1. Tertutup
Ambil sebarang A, B ∈ N, karena A, B ∈ N, dan AB ∈ N
maka
A * B = A + B + AB ∈ N
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang A, B, C ∈ N, maka
(A * B) * C = (A + B + AB) * C
= (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C
= A + B + AB + C + AC + BC + ABC
A * (B * C) = A * (B + C + BC)
= A + (B + C + BC) + A (B + C + BC)
= A + B + C + BC + AB + AC + ABC
Maka untuk setiap A, B, C ∈ N berlaku
(A * B) * C = A * (B * C)
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.8. Tentukan apakah a * b = a + b + 3 berupa group, monoid , atau Semigroup. Beserta sifat abelnya
a * b = a + b + 3
- Asosiatif
(a * b) * c = a * (b * c)
(a * b) * c = (a + b + 3) * c | (a * b) * c = a * (b + c + 3)
= n * c | = a * n
= n + c + 3 | = a + n + 3
= a + b + c + 6 | = a + b + c + 6
- Identitas
a * e = e * a = a
a * e = a
a * b = a + b + 3
e * a = e + a + 3 = a + e + 3
a * e = a + e + 3
a = a
a = a + e
e = -3
- Invers
a -1 = a -1 * a = e
a * b = a + b + 3
Misalkan : a -1 = b
b = - a - 3
a * b = a + b +3 = -3
= a + (-a - 3) + 3 = -3
0 ≠ 3
- Komutatif (abel)
a * b = b * a
a + b + 3 = b + a + 3
Maka a * b = a + b + 3 merupakan monoid abel9. Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?
- A. Himpunan tertutup dibawah suatu operasi
- B. Operasi bersifat asosiatif
- C. Tidak terdapat elemen identitas #
- D. Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi
Syarat Dari Grup adalah :
- A. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
- B. Operasi * bersifat asosiatif
- C. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *
- D. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *
10. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?
- A. Asosiatif
- B. Distributif
- C. Komutatif #
- D. A,B,C Benar
Penyelesaian :
P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
a+b = b+a
3+6 = 6+3
9 = 9
Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.
a.b = b.a
3.6 = 6.3
18 = 18