Beranda > Tugas Kuliah > Struktur Aljabar

Struktur Aljabar

Adi Nugraha Y 50414234 2ia03
Jumat, 20 November 2015
1. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam
  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4 #
2. Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...
  • A. Grup
  • B. Monoid
  • C. Polaroid #
  • D. Semigrup
3. Manakah dibawah ini cara untuk membuktikan sebuah himpunan tertutup terhadap Asosiatif ?
  • A. a*b = b*a
  • B. (a*b)*c = a*(b*c) #
  • C. a dan b benar
  • D. a dan b salah
Penjelasan :
Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
4. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner : a * b = a + 2b Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?
  • A. Grup
  • B. Semigrup
  • C. Monoid
  • D. Tidak termasuk kedalam apapun #

Penyelesaian :

- Tertutup

a = 1
b = 2

a * b = a + 2b
      = 1 + 2(2)
      = 5

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

- Assosiatif

(a * b) * c = (a + 2b) * c    |  (a * b) * c = a * (b + 2c)
            = n * c           |             = a * n
            = n + 2c          |             = a + 2n
            = a + 2b + 2c     |             = a + 4b + 2c

Jadi, (N, *) Tidak termasuk kedalam apapun

5. Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….
  • A. Semigrup Abelian
  • B. Subgrup
  • C. Monoid #
  • D. Grup
6. tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).


H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H ⊆ G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :

a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
(misalkan 0, 2, 4 ∈ H)
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2

karena hasilnya 0, 2, 4 ∈ H, maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan
a = 2, b = 2 dan c = 4 ∈ H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G

misalkan 0 G
0 + e = e + 0 = 0

misalkan 2 G
2 + e = e + 2 = 2

misalkan 4 G
4 + e = e + 4 = 4

maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,
sehingga
0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0


Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,
sehingga
2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4


Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,
sehingga
4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2


maka G ada unsur balikan atau invers

e. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 4 H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4


Sehingga :
4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan atau identitas

f. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H

4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e

Sehingga :

4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e

maka H ada unsur balikan atau invers


Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+)
merupakan Subgrup dari (G, +).
7. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner : A * B = A + B + AB Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?
  • A. Grup
  • B. Semigrup #
  • C. Grupoid
  • D. Monoid

Penyelesaian :

1. Tertutup
Ambil sebarang A, B ∈ N, karena A, B ∈ N, dan AB ∈ N
maka
A * B = A + B + AB ∈ N

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif
Ambil sebarang A, B, C ∈ N, maka

(A * B) * C = (A + B + AB) * C
            = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C
            = A + B + AB + C + AC + BC + ABC

A * (B * C) = A * (B + C + BC)
            = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC)
            = A + B + C + BC + AB + AC + ABC


Maka untuk setiap A, B, C ∈ N berlaku

(A * B) * C = A * (B * C)

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
8. Tentukan apakah a * b = a + b + 3 berupa group, monoid , atau Semigroup. Beserta sifat abelnya

a * b = a + b + 3

- Asosiatif
(a * b) * c = a * (b * c)

(a * b) * c = (a + b + 3) * c      |     (a * b) * c = a * (b + c + 3)
            = n * c                |                 = a * n
            = n + c + 3            |                 = a + n + 3
            = a + b + c + 6        |                 = a + b + c + 6

- Identitas
a * e = e * a = a
a * e = a

a * b = a + b + 3
e * a = e + a + 3 = a + e + 3
a * e = a + e + 3
    a = a

a = a + e
e = -3

- Invers
a -1 = a -1 * a = e
a * b = a + b + 3

Misalkan : a -1 = b

b = - a - 3

a * b = a + b +3         = -3
      = a + (-a - 3) + 3 = -3
                       0 ≠  3

- Komutatif (abel)
a * b = b * a
a + b + 3 = b + a + 3

Maka a * b = a + b + 3 merupakan monoid abel
9. Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?
  • A. Himpunan tertutup dibawah suatu operasi
  • B. Operasi bersifat asosiatif
  • C. Tidak terdapat elemen identitas #
  • D. Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi

Syarat Dari Grup adalah :
  • A. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
  • B. Operasi * bersifat asosiatif
  • C. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *
  • D. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

10. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?
  • A. Asosiatif
  • B. Distributif
  • C. Komutatif #
  • D. A,B,C Benar

Penyelesaian :

P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

a+b = b+a
3+6 = 6+3
  9 = 9

Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.

a.b = b.a
3.6 = 6.3
 18 = 18
< >
Drawing codeSyalalala!